近几年高考中，一般都有一道三角函数的解答题——俗称大题，多考查正弦型三角函数、三角函数与三角形结合（如解三角形）等题型。一般题目难度中等，因此要确保不丢分。根据以往高考题目，本文将把多见的、相近的题目归纳出两大重点题型，即“正弦型三角函数(为背景的)有关题型与三角形(为背景的)有关题型”。

　　本文将重点放在正弦型三角函数有关题型的解题方法与技巧的示例和讲解，而三角形有关的更多题型将在‘解三角形’模块重点论述(以免有些同学还没学到解三角形而看不懂)。

　　同学们应以此为基础和参照，平时要多总结与积累有关解题方法与技巧，并熟练掌握它们，才能确保三角函数有关高考大题得满分。

　　1. 正弦型三角函数有关题型

　　① 一种常见考查模式为“二倍角+辅助角”的组合。

　　② 易错点是常忽略角度有关的约束条件使用和验证，包括角所在的象限、角度有效范围等。

　　例1 (北京）已知函数f（x）=(sinxcosx)sin2x/sinx

　　（1）求f（x）的定义域及最小正周期；

　　（2）求f（x）的单调递增区间．

　　解：依题意有，

　　由f(x)=(sinx-cosx)sin2x/sinx，sinx≠0,

　　∴ x≠kπ,k∈Z，

　　∵ f(x)=(sinx-cosx)sin2x/sinx

　　=(sinx-cosx) × 2cosx

　　=2sinxcosx-2cosx

　　=sin2x-(1+cos2x)

　　=√2sin(2x-π/4),

　　（1）f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，

　　最小正周期为2π/2=π。

　　（2）求f（x）的单调递增区间，应有：

　　2kπ-π/2≤2x-π/4≤2kπ+π/2,

　　解得：kπ-π/8≤x≤kπ+3π/8, {x|x≠kπ,k∈Z}

　　∴原函数的单调递增区间为[kπ-π/8, kπ]、[kπ,kπ+3π/8]，k∈Z。

　　讲解：

　　① 本题为正弦型函数题型——综合考查其定义域、最小正周期和单调性。虽不太难，但离不开扎实的基本功，如常用公式、常用解题思路等；尤其要注意细节，否则很容易失分。

　　② 正弦型函数题型的解题一般思路

　　a) 恒等变换、化简。常用到二倍角等公式；

　　b) 变换为正弦型函数。常用到辅助角公式；

　　c) 利用正弦型函数概念及其性质，求解问题。

　　例2函数f(x)=Asin(ωx-π/6)+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π/2,

　　（1）求函数f（x）的解析式；

　　（2）设α∈(0，π/2)，则f(α)=2，求α的值．

　　解：依题意，

　　(1) ∵函数f（x）的最大值是3，

　　∴ A+1=3，即A=2，

　　∵ 函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π/2,

　　∴ 最小正周期T=π,

　　∴ ω=2,

　　∴ f(x)=2sin（2x-π/6）+1。

　　（2）∵ f(α)=2sin（2α-π/6）+1=2,

　　∴ sin（2α-π/6）=1/2,

　　又∵α∈(0，π/2)，

　　∴ -π/6 < 2α-π/6 < 5π/6,

　　∴ 2α-π/6=π/6,

　　∴ α=π/6,即为所求。

　　讲解：

　　① 本题为正弦型函数综合应用。其解题思路如下：

　　a) 求（正弦型）函数解析式

　　实质上就是求各参数的值。所以，关键是理解各参数意义。

　　b) (三角函数)给值求角。一般方法就是恒等变换、化简，但不要忘了考虑角的范围(提示：几乎是三角函数必考点或坑——或者显式要求你，或者不提示你，后者时为易错点)！

　　

　　解：依题意，

　　

　　讲解：

　　① 本题为三角函数与向量综合的应用。其解题思路如下：

　　a) 求数量积 – 利用数量积坐标运算公式（提示：仅相当于已知一个三角等式，与后续解答无关了）

　　b) 求f(x)解析式 – 利用（1）以及恒等变换方法（如本题用到二倍角），化简并变换为正弦型函数形式，即得最小正周期等相关参数；

　　c) 求函数值（逆用该基础应用，求出参数ω值——方程思想）

　　提示：务必理解“正弦函数图像关于直线x=π对称”就是指该处为最值点——即该函数过（π,2）或（π,-2）点。根据题意，可得2πω-π/6=π/2+kπ；

　　d) 求函数值（逆用该基础应用，求出参数λ值——方程思想）

　　将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值；

　　e) 求函数值（求函数值范围）

　　ü 一般地，求解所求函数的取值范围时，务必先弄清所给区间内该函数的图像特征和约束条件，包括单调性区间、最值点（存在与否以及位置在哪）、端点（开或闭、是否有挖去的点等等。

　　ü 求符合函数的值域时，先求内层函数的值域，再将内层函数看做整体，然后利用外层函数有关概念和性质求解。

　　② 本题粗略一看，与上述几个例题差别很大。但仔细审题后发现，题目本质仍是正弦型函数题型，只不过出题人变着法子以不同于上述例题的方式给出已知条件而已，比如向量、对称轴等。

　　实际中，无论有关正弦型函数的题目如何进行题设、如何进行设问的，其解答过程主干一般都是：三角恒等变换→得出正弦型函数解析式→依据该函数有关性质求解问题。总之，“透过表象差异，抓住题目本质，才能真正举一反三、触类旁通。

　　例4（广东）已知函数f(x)=2cos(ωx+π/6)(ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.

　　（1）求ω的值；

　　（2）设α，β∈[0，π/2]，f(5α+5π/3)=-6/5，f(5β-5π/6)=16/17，求cos（α+β）的值。

　　解：(1)依题意，T=10π=2π/ω，

　　∴ ω=1/5。

　　(2)由(1)可知，

　　∴ f(x)=2cos[(1/5)x+π/6]，

　　f﹙5α+5π/3﹚=2cos(α+π/3+π/6)=-6/5，

　　即 -2sinα=-6/5，

　　即 sinα=3/5,则：

　　cosα=4/5，

　　又f（5β-5π/6）=2cos(β-π/6+π/6)=16/17，

　　即 cosβ=8/17,则：

　　sinβ=15/17，

　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

　　=(4/5)*(8/17)-(3/5)(15/17)

　　=-13/85。

　　讲解：

　　① 本题为正弦型函数应用题型。其解题思路并不复杂，直接明了，这类不再赘述。

　　例5（安徽）设函数f(x)=√2/2 cos(2x+π/4)+(sinx)^2,

　　（1）求函数f(x)的最小正周期

　　（2）设函数g(x)对任意x∈R,有g(x+π/2)=g(x), 且当x∈[0,π/2]时，g(x)=1/2 - f(x)，求g(x)在区间[-π,0]上的解析式。

　　

　　讲解：

　　① 本题为正弦型函数应用题型。其解题思路如下：

　　a) 三角恒等变换

　　利用三角恒等变换（“二倍角公式+辅助角公式” 常组合出现）,求得正弦型三角函数；

　　b) 求解析式

　　根据已知，求出x∈[0，π/2]时的解析式；

　　c) 求解析式

　　根据已求得x∈[0，π/2]的解析式，将待求区间转化到已知定义的区间[0，π/2]上进行求解；

　　提示1：除了本题利用函数的周期性定义推导（简便直接且不易失误）方法之外，还可以作函数图像并通过分段分析来求解（画图熟练者可用此法）。

　　提示2：本题的题设已定义g(x)的周期是π/2，不可习惯性地套用sin2x的周期。因此，审题要细心，务必与题意保持一致，切不可粗心大意或疏忽！

　　② 思考：由本题的上述答案形式，猜想g(x)解析式是否可能为“g(x)=|sin2x|/2, x∈R”。可试着把g(x)的图像作出来并验证上述猜想。

　　2. 三角形有关题型

　　提示：类似地，特别小心有关角度的约束条件,包括三角形有关边、角之间的约束条件。

　　提示：更多三角函数与

　　例6(辽宁）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．

　　（1）求cosB的值；

　　（2）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．

　　解：(1) 由2B=A+C，A+B+C=180°，可得B=60°，

　　∴ cosB=1/2，

　　(2) 由已知可得：b^2=ac；由(1)有cosB=1/2,

　　（解法1）根据余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，

　　可解得：a=c，

　　∴ B=A=C=60°，

　　∴ sinA sinC=3/4。

　　(解法2) 根据正弦定理得(sinB)^2=sinA sinC，

　　∴ sinA sinC=1 –(cosB) ^2=3/4。

　　讲解：

　　① 本题为三角函数、解三角形与数列综合应用。解题思路简单，这个不赘述。

　　本题不难，原因在于已知条件可直接对接求解问题。这类送分题一定不能出错，否则就太遗憾了。

　　例8（四川）函数f（x）=6[cos(ωx/2)]^2 +√3 sinωx -3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图像的最高点，B、C为图像与x轴的点，且△ABC为正三角形。

　　（1）求ω的值及函数f（x）的值域；

　　（2）若f（x0）=8√3/5，且x0∈（-10/3,2/3），求f(x0+1)的值。

　　

　　讲解：

　　① 本题为三角函数(含正弦型三角函数)与三角形综合的题型，涉及参数问题、函数值域问题、求函数值问题。其中，涉及的三角形有关内容比较简单，属于简单、松散的综合。

　　② 本题的解题思路如下：

　　a) 三角恒等变换

　　利用三角恒等变换（“二倍角公式+辅助角公式” 常组合出现）,求得正弦型三角函数；

　　提示：题设中的“正三角形”，只是以几何形式给出已知条件而已。只需转化为对应的、所需的代数关系即可。

　　b) 求函数值（逆用）

　　根据已知f（x0 ）=(8√3)/5 ，可求得一个含x0的三角函数式；

　　c) 求函数值

　　根据上一步，利用三角恒等变换，可求得f（x0 + 1）。